Решить 19x^2-15x+45=0

$$19 x ^ { 2 } - 15 x + 45 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}\approx 0,394736842+1,487482396i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}\approx 0,394736842-1,487482396i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 19 вместо a, -15 вместо b и 45 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

Возведите -15 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

Умножьте -4 на 19.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-76\times 45}}{2\times 19}$$

Умножьте -76 на 45.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-3420}}{2\times 19}$$

Прибавьте 225 к -3420.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-3195}}{2\times 19}$$

Извлеките квадратный корень из -3195.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Число, противоположное -15, равно 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Умножьте 2 на 19.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38}$$

Решите уравнение x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 15 к 3i\sqrt{355}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}$$

Решите уравнение x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38} при условии, что ± — минус. Вычтите 3i\sqrt{355} из 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

Вычтите 45 из обеих частей уравнения.

$$19x^{2}-15x+45-45=-45$$

Если из 45 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$19x^{2}-15x=-45$$

Разделите обе части на 19.

$$\frac{19x^{2}-15x}{19}=-\frac{45}{19}$$

Деление на 19 аннулирует операцию умножения на 19.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x=-\frac{45}{19}$$

Деление -\frac{15}{19}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{15}{38}. Затем добавьте квадрат -\frac{15}{38} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{45}{19}+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{15}{38} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{45}{19}+\frac{225}{1444}$$

Прибавьте -\frac{45}{19} к \frac{225}{1444}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{3195}{1444}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{3195}{1444}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3195}{1444}}$$

Упростите.

$$x-\frac{15}{38}=\frac{3\sqrt{355}i}{38} x-\frac{15}{38}=-\frac{3\sqrt{355}i}{38}$$

Прибавьте \frac{15}{38} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$