Решить 18x^2+33x=180

$$18 x ^ { 2 } + 33 x = 180$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2,375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4,209124378$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$18x^{2}+33x=180$$

Вычтите 180 из обеих частей уравнения.

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

Если из 180 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$18x^{2}+33x-180=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 18 вместо a, 33 вместо b и -180 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Возведите 33 в квадрат.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Умножьте -4 на 18.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Умножьте -72 на -180.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

Прибавьте 1089 к 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

Извлеките квадратный корень из 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

Умножьте 2 на 18.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

Решите уравнение x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -33 к 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Разделите -33+3\sqrt{1561} на 36.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{1561} из -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Разделите -33-3\sqrt{1561} на 36.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}+33x=180$$

Разделите обе части на 18.

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

Деление на 18 аннулирует операцию умножения на 18.

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

Привести дробь \frac{33}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

Разделите 180 на 18.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

Деление \frac{11}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{12}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

Прибавьте 10 к \frac{121}{144}.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

Вычтите \frac{11}{12} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$