Решить 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 18x^{2}+ax+bx-5. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -90 продукта.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -9.

$$a=-15 b=6$$

Перепишите 18x^{2}-9x-5 как \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Вынесите за скобки 3x в 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Вынесите за скобки общий член 6x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 6x-5=0 и 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 18 вместо a, -9 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Умножьте -4 на 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Умножьте -72 на -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Прибавьте 81 к 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Извлеките квадратный корень из 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Число, противоположное -9, равно 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Умножьте 2 на 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Решите уравнение x=\frac{9±21}{36} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 9 к 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Привести дробь \frac{30}{36} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{9±21}{36} при условии, что ± — минус. Вычтите 21 из 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Привести дробь \frac{-12}{36} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Разделите обе части на 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Деление на 18 аннулирует операцию умножения на 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Привести дробь \frac{-9}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Разделите -\frac{1}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте \frac{5}{18} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Разложите x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$