Решить 16+x^2+left(4-xright)^2+16={left(4sqrt{5}right)}^2

$$16+ { x }^{ 2 } + { \left(4-x \right) }^{ 2 } +16= { \left(4 \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 }$$

Найдите x

$$x=2\sqrt{5}+2\approx 6,472135955$$

$$x=2-2\sqrt{5}\approx -2,472135955$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(4-x\right)^{2}.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 32, сложите 16 и 16.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 48, сложите 32 и 16.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Разложите \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Вычислите 4 в степени 2 и получите 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Квадрат выражения \sqrt{5} равен 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Перемножьте 16 и 5, чтобы получить 80.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Вычтите 80 из обеих частей уравнения.

$$48+2x^{2}-8x-80=0$$

Вычтите 80 из 48, чтобы получить -32.

$$-32+2x^{2}-8x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-8x-32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -8 вместо b и -32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+256}}{2\times 2}$$

Прибавьте 64 к 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{320}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 320.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 8\sqrt{5}.

$$x=\frac{8\sqrt{5}+8}{4}$$

Разделите 8+8\sqrt{5} на 4.

$$x=2\sqrt{5}+2$$

Решите уравнение x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{5} из 8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{5}}{4}$$

Разделите 8-8\sqrt{5} на 4.

$$x=2-2\sqrt{5}$$

Уравнение решено.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(4-x\right)^{2}.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 32, сложите 16 и 16.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 48, сложите 32 и 16.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Разложите \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Вычислите 4 в степени 2 и получите 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Квадрат выражения \sqrt{5} равен 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Перемножьте 16 и 5, чтобы получить 80.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Вычтите 48 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-8x=80-48$$

Вычтите 48 из 80, чтобы получить 32.

$$2x^{2}-8x=32$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{32}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{32}{2}$$

Разделите -8 на 2.

$$x^{2}-4x=\frac{32}{2}$$

Разделите 32 на 2.

$$x^{2}-4x=16$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=16+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x^{2}-4x+4=16+4$$

Прибавьте 16 к 4.

$$x^{2}-4x+4=20$$

Коэффициент x^{2}-4x+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=20$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

Упростите.

$$x-2=2\sqrt{5} x-2=-2\sqrt{5}$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$