Решить 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 16 вместо a, -64 вместо b и 65 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Возведите -64 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Прибавьте 4096 к -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

Число, противоположное -64, равно 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{64±8i}{32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 64 к 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Разделите 64+8i на 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Решите уравнение x=\frac{64±8i}{32} при условии, что ± — минус. Вычтите 8i из 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Разделите 64-8i на 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Уравнение решено.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Вычтите 65 из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Если из 65 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Разделите обе части на 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Деление на 16 аннулирует операцию умножения на 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Разделите -64 на 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Прибавьте -\frac{65}{16} к 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Коэффициент x^{2}-4x+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Упростите.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$