Решить 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 16x^{2}+ax+bx-3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 8.

$$a=-4 b=12$$

Перепишите 16x^{2}+8x-3 как \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Разложите 4x в первом и 3 в второй группе.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-1=0 и 4x+3=0у.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 16 вместо a, 8 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Возведите 8 в квадрат.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Прибавьте 64 к 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±16}{32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8 к 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Привести дробь \frac{8}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±16}{32} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Привести дробь \frac{-24}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Разделите обе части на 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Деление на 16 аннулирует операцию умножения на 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Привести дробь \frac{8}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Деление \frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Прибавьте \frac{3}{16} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$