Решить 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 16x^{2}+ax+bx-9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 10.

$$a=-8 b=18$$

Перепишите 16x^{2}+10x-9 как \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Разложите 8x в первом и 9 в второй группе.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-1=0 и 8x+9=0у.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 16 вместо a, 10 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Прибавьте 100 к 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±26}{32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -10 к 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Привести дробь \frac{16}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±26}{32} при условии, что ± — минус. Вычтите 26 из -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Привести дробь \frac{-36}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Разделите обе части на 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Деление на 16 аннулирует операцию умножения на 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Привести дробь \frac{10}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Деление \frac{5}{8}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{16}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{16} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{16} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Прибавьте \frac{9}{16} к \frac{25}{256}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Вычтите \frac{5}{16} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$