Решить 16m^2-40m-9=0

$$16 { m }^{ 2 } -40m-9 = 0$$

Найдите m

$$m = \frac{\sqrt{34} + 5}{4} \approx 2,707737974$$

$$m=\frac{5-\sqrt{34}}{4}\approx -0,207737974$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$16m^{2}-40m-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 16 вместо a, -40 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$m=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$m=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на -9.

$$m=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+576}}{2\times 16}$$

Прибавьте 1600 к 576.

$$m=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{2176}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из 2176.

$$m=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{34}}{2\times 16}$$

Число, противоположное -40, равно 40.

$$m=\frac{40±8\sqrt{34}}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$m=\frac{40±8\sqrt{34}}{32}$$

Решите уравнение m=\frac{40±8\sqrt{34}}{32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 40 к 8\sqrt{34}.

$$m=\frac{8\sqrt{34}+40}{32}$$

Разделите 40+8\sqrt{34} на 32.

$$m=\frac{\sqrt{34}+5}{4}$$

Решите уравнение m=\frac{40±8\sqrt{34}}{32} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{34} из 40.

$$m=\frac{40-8\sqrt{34}}{32}$$

Разделите 40-8\sqrt{34} на 32.

$$m=\frac{5-\sqrt{34}}{4}$$

Уравнение решено.

$$m=\frac{\sqrt{34}+5}{4} m=\frac{5-\sqrt{34}}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$16m^{2}-40m-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$16m^{2}-40m-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$16m^{2}-40m=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$16m^{2}-40m=9$$

Разделите обе части на 16.

$$\frac{16m^{2}-40m}{16}=\frac{9}{16}$$

Деление на 16 аннулирует операцию умножения на 16.

$$m^{2}+\left(-\frac{40}{16}\right)m=\frac{9}{16}$$

Привести дробь \frac{-40}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$m^{2}-\frac{5}{2}m=\frac{9}{16}$$

Деление -\frac{5}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$m^{2}-\frac{5}{2}m+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$m^{2}-\frac{5}{2}m+\frac{25}{16}=\frac{9+25}{16}$$

Прибавьте \frac{9}{16} к \frac{25}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$m^{2}-\frac{5}{2}m+\frac{25}{16}=\frac{17}{8}$$

Коэффициент m^{2}-\frac{5}{2}m+\frac{25}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{17}{8}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(m-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{8}}$$

Упростите.

$$m-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{34}}{4} m-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{34}}{4}$$

Прибавьте \frac{5}{4} к обеим частям уравнения.

$$m=\frac{\sqrt{34}+5}{4} m=\frac{5-\sqrt{34}}{4}$$