Решить 15x^2-97x+1=0

$$15 x ^ { 2 } - 97 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{9349} + 97}{30} \approx 6,4563409$$

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}\approx 0,010325766$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 15 вместо a, -97 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Возведите -97 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-4\times 15}}{2\times 15}$$

Умножьте -4 на 15.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-60}}{2\times 15}$$

Прибавьте 9409 к -60.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Число, противоположное -97, равно 97.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Умножьте 2 на 15.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}$$

Решите уравнение x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 97 к \sqrt{9349}.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30}$$

Решите уравнение x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{9349} из 97.

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$15x^{2}-97x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$15x^{2}-97x=-1$$

Разделите обе части на 15.

$$\frac{15x^{2}-97x}{15}=-\frac{1}{15}$$

Деление на 15 аннулирует операцию умножения на 15.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x=-\frac{1}{15}$$

Деление -\frac{97}{15}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{97}{30}. Затем добавьте квадрат -\frac{97}{30} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{97}{30} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=-\frac{1}{15}+\frac{9409}{900}$$

Прибавьте -\frac{1}{15} к \frac{9409}{900}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=\frac{9349}{900}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}=\frac{9349}{900}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9349}{900}}$$

Упростите.

$$x-\frac{97}{30}=\frac{\sqrt{9349}}{30} x-\frac{97}{30}=-\frac{\sqrt{9349}}{30}$$

Прибавьте \frac{97}{30} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$