Решить 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42,122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7,122144504$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 15 вместо a, -525 вместо b и -4500 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Возведите -525 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -4 на 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -60 на -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Прибавьте 275625 к 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Извлеките квадратный корень из 545625.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Число, противоположное -525, равно 525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Умножьте 2 на 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Решите уравнение x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 525 к 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

Разделите 525+75\sqrt{97} на 30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} при условии, что ± — минус. Вычтите 75\sqrt{97} из 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

Разделите 525-75\sqrt{97} на 30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Прибавьте 4500 к обеим частям уравнения.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

Если из -4500 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

Вычтите -4500 из 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Разделите обе части на 15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

Деление на 15 аннулирует операцию умножения на 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

Разделите -525 на 15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

Разделите 4500 на 15.

$$x^{2}-35x=300$$

Деление -35, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{35}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{35}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{35}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Прибавьте 300 к \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Коэффициент x^{2}-35x+\frac{1225}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Прибавьте \frac{35}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$