Решить 15x^2-4x-4=0

$$15 x ^ { 2 } - 4 x - 4 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 15x^{2}+ax+bx-4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-10 b=6$$

Перепишите 15x^{2}-4x-4 как \left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right)$$

Разложите 5x в первом и 2 в второй группе.

$$5x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-2=0 и 5x+2=0у.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 15 вместо a, -4 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -4 на 15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -60 на -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Прибавьте 16 к 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 15}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 15}$$

Умножьте 2 на 15.

$$x=\frac{4±16}{30}$$

Решите уравнение x=\frac{4±16}{30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 16.

$$x=\frac{20}{30}$$

Привести дробь \frac{20}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=\frac{2}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{4±16}{30} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из 4.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Привести дробь \frac{-12}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$15x^{2}-4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$15x^{2}-4x=-\left(-4\right)$$

Вычтите -4 из 0.

$$15x^{2}-4x=4$$

Разделите обе части на 15.

$$\frac{15x^{2}-4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Деление на 15 аннулирует операцию умножения на 15.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Деление -\frac{4}{15}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{2}{15}. Затем добавьте квадрат -\frac{2}{15} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\left(-\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{2}{15} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Прибавьте \frac{4}{15} к \frac{4}{225}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Упростите.

$$x-\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x-\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Прибавьте \frac{2}{15} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$