Решить 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 15x^{2}+ax+bx+2. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 30 продукта.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=5 b=6$$

Перепишите 15x^{2}+11x+2 как \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Вынесите за скобки 5x в первой и 2 во второй группе.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x+1=0 и 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 15 вместо a, 11 вместо b и 2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Умножьте -4 на 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Умножьте -60 на 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Прибавьте 121 к -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Умножьте 2 на 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±1}{30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Привести дробь \frac{-10}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±1}{30} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Привести дробь \frac{-12}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Если из 2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Разделите обе части на 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Деление на 15 аннулирует операцию умножения на 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Разделите \frac{11}{15}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{11}{30}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{30} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{30} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Прибавьте -\frac{2}{15} к \frac{121}{900}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Разложите x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Вычтите \frac{11}{30} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$