Решить 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Разложить на множители

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 15x^{2}+ax+bx-16. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=-20 b=12$$

Перепишите 15x^{2}-8x-16 как \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Разложите 5x в первом и 4 в второй группе.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -4 на 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -60 на -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Прибавьте 64 к 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Извлеките квадратный корень из 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Умножьте 2 на 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Решите уравнение x=\frac{8±32}{30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Привести дробь \frac{40}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{8±32}{30} при условии, что ± — минус. Вычтите 32 из 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Привести дробь \frac{-24}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{4}{3} вместо x_{1} и -\frac{4}{5} вместо x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Вычтите \frac{4}{3} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Прибавьте \frac{4}{5} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Умножьте \frac{3x-4}{3} на \frac{5x+4}{5}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Умножьте 3 на 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Сократите наибольший общий делитель 15 в 15 и 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Вычислить

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$