Решить 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 15x^{2}+ax+bx-4. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -60 продукта.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 4.

$$a=-6 b=10$$

Перепишите 15x^{2}+4x-4 как \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Вынесите за скобки 3x в первой и 2 во второй группе.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x-2=0 и 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 15 вместо a, 4 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -4 на 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -60 на -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Прибавьте 16 к 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Умножьте 2 на 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±16}{30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Привести дробь \frac{12}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±16}{30} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Привести дробь \frac{-20}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Вычтите -4 из 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Разделите обе части на 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Деление на 15 аннулирует операцию умножения на 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Разделите \frac{4}{15}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{2}{15}. Затем добавьте квадрат \frac{2}{15} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Возведите \frac{2}{15} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Прибавьте \frac{4}{15} к \frac{4}{225}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Разложите x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Упростите.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Вычтите \frac{2}{15} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$