Решить 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 14x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -28 продукта.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-4 b=7$$

Перепишите 14x^{2}+3x-2 как \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right).

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

Вынесите за скобки 2x в 14x^{2}-4x.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

Вынесите за скобки общий член 7x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 7x-2=0 и 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 14 вместо a, 3 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Умножьте -4 на 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Умножьте -56 на -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

Прибавьте 9 к 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

Умножьте 2 на 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±11}{28} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 11.

$$x=\frac{8}{28}$$

Привести дробь \frac{8}{28} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{2}{7}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±11}{28} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из -3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

Привести дробь \frac{-14}{28} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 0.

$$14x^{2}+3x=2$$

Разделите обе части на 14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

Деление на 14 аннулирует операцию умножения на 14.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

Привести дробь \frac{2}{14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

Разделите \frac{3}{14}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{28}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{28} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{28} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

Прибавьте \frac{1}{7} к \frac{9}{784}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

Разложите x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

Вычтите \frac{3}{28} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$