Решить 14x^2+2x=3

$$14 x ^ { 2 } + 2 x = 3$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14}\approx 0,396959895$$

$$x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}\approx -0,539817037$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$14x^{2}+2x=3$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$14x^{2}+2x-3=3-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$14x^{2}+2x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 14 вместо a, 2 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Умножьте -4 на 14.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-56\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Умножьте -56 на -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+168}}{2\times 14}$$

Прибавьте 4 к 168.

$$x=\frac{-2±\sqrt{172}}{2\times 14}$$

Извлеките квадратный корень из 172.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{2\times 14}$$

Умножьте 2 на 14.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 2\sqrt{43}.

$$x=\frac{2\sqrt{43}-2}{28}$$

Разделите -2+2\sqrt{43} на 28.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{43} из -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{43}-2}{28}$$

Разделите -2-2\sqrt{43} на 28.

$$x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14} x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+2x=3$$

Разделите обе части на 14.

$$\frac{14x^{2}+2x}{14}=\frac{3}{14}$$

Деление на 14 аннулирует операцию умножения на 14.

$$x^{2}+\frac{2}{14}x=\frac{3}{14}$$

Привести дробь \frac{2}{14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x=\frac{3}{14}$$

Деление \frac{1}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{14}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{14} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{14} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=\frac{3}{14}+\frac{1}{196}$$

Прибавьте \frac{3}{14} к \frac{1}{196}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=\frac{43}{196}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}=\frac{43}{196}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43}{196}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{14}=\frac{\sqrt{43}}{14} x+\frac{1}{14}=-\frac{\sqrt{43}}{14}$$

Вычтите \frac{1}{14} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14} x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$