Решить 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 14x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -29.

$$a=-35 b=6$$

Перепишите 14x^{2}-29x-15 как \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Разложите 7x в первом и 3 в второй группе.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-5=0 и 7x+3=0у.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 14 вместо a, -29 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Возведите -29 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Умножьте -4 на 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Умножьте -56 на -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Прибавьте 841 к 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Извлеките квадратный корень из 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Число, противоположное -29, равно 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Умножьте 2 на 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Решите уравнение x=\frac{29±41}{28} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 29 к 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Привести дробь \frac{70}{28} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{29±41}{28} при условии, что ± — минус. Вычтите 41 из 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Привести дробь \frac{-12}{28} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Если из -15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Вычтите -15 из 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Разделите обе части на 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Деление на 14 аннулирует операцию умножения на 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Деление -\frac{29}{14}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{29}{28}. Затем добавьте квадрат -\frac{29}{28} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{29}{28} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Прибавьте \frac{15}{14} к \frac{841}{784}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Упростите.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Прибавьте \frac{29}{28} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$