Решить 132x^2+16x-1=0

$$132 x ^ { 2 } + 16 x - 1 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=\frac{1}{22}\approx 0,045454545$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 132x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=16 ab=132\left(-1\right)=-132$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -132.

$$-1,132 -2,66 -3,44 -4,33 -6,22 -11,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+132=131 -2+66=64 -3+44=41 -4+33=29 -6+22=16 -11+12=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 16.

$$a=-6 b=22$$

Перепишите 132x^{2}+16x-1 как \left(132x^{2}-6x\right)+\left(22x-1\right).

$$\left(132x^{2}-6x\right)+\left(22x-1\right)$$

Вынесите за скобки 6x в 132x^{2}-6x.

$$6x\left(22x-1\right)+22x-1$$

Вынесите за скобки общий член 22x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(22x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 22x-1=0 и 6x+1=0у.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$132x^{2}+16x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 132 вместо a, 16 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 132\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

Возведите 16 в квадрат.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 132\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

Умножьте -4 на 132.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-528\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

Умножьте -528 на -1.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+528}}{2\times 132}$$

Прибавьте 256 к 528.

$$x=\frac{-16±\sqrt{784}}{2\times 132}$$

Извлеките квадратный корень из 784.

$$x=\frac{-16±28}{2\times 132}$$

Умножьте 2 на 132.

$$x=\frac{-16±28}{264}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±28}{264} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16 к 28.

$$x=\frac{12}{264}$$

Привести дробь \frac{12}{264} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 12.

$$x=\frac{1}{22}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±28}{264} при условии, что ± — минус. Вычтите 28 из -16.

$$x=-\frac{44}{264}$$

Привести дробь \frac{-44}{264} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 44.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$132x^{2}+16x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$132x^{2}+16x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$132x^{2}+16x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$132x^{2}+16x=1$$

Разделите обе части на 132.

$$\frac{132x^{2}+16x}{132}=\frac{1}{132}$$

Деление на 132 аннулирует операцию умножения на 132.

$$x^{2}+\frac{16}{132}x=\frac{1}{132}$$

Привести дробь \frac{16}{132} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x=\frac{1}{132}$$

Деление \frac{4}{33}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{2}{33}. Затем добавьте квадрат \frac{2}{33} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\left(\frac{2}{33}\right)^{2}=\frac{1}{132}+\left(\frac{2}{33}\right)^{2}$$

Возведите \frac{2}{33} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}=\frac{1}{132}+\frac{4}{1089}$$

Прибавьте \frac{1}{132} к \frac{4}{1089}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}=\frac{49}{4356}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{33}\right)^{2}=\frac{49}{4356}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{33}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4356}}$$

Упростите.

$$x+\frac{2}{33}=\frac{7}{66} x+\frac{2}{33}=-\frac{7}{66}$$

Вычтите \frac{2}{33} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$