Решить 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Найдите x

$$x=3$$

$$x=10$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$13x-x^{2}=30$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-30. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 13.

$$a=10 b=3$$

Перепишите -x^{2}+13x-30 как \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Разложите -x в первом и 3 в второй группе.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и -x+3=0у.

$$x=10 x=3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$13x-x^{2}=30$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 13 вместо b и -30 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 13 в квадрат.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 169 к -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±7}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -13 к 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Разделите -6 на -2.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{-13±7}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Разделите -20 на -2.

$$x=10$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=10$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$13x-x^{2}=30$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+13x=30$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Разделите 13 на -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Разделите 30 на -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Деление -13, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{13}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{13}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{13}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Прибавьте -30 к \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Коэффициент x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Прибавьте \frac{13}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=10 x=3$$