Решить 13x+7y=-378text{and}x-4y=39

$$13 x + 7 y = - 378 \text { and } x - 4 y = 39$$

Найдите x, y

$$x=-21$$

$$y=-15$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$13x+7y=-378,x-4y=39$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$13x+7y=-378$$

Вычтите 7y из обеих частей уравнения.

$$13x=-7y-378$$

Разделите обе части на 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-7y-378\right)$$

Умножьте \frac{1}{13} на -7y-378.

$$x=-\frac{7}{13}y-\frac{378}{13}$$

Подставьте \frac{-7y-378}{13} вместо x в другом уравнении x-4y=39.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{378}{13}-4y=39$$

Прибавьте -\frac{7y}{13} к -4y.

$$-\frac{59}{13}y-\frac{378}{13}=39$$

Прибавьте \frac{378}{13} к обеим частям уравнения.

$$-\frac{59}{13}y=\frac{885}{13}$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{59}{13}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-15$$

Подставьте -15 вместо y в x=-\frac{7}{13}y-\frac{378}{13}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{7}{13}\left(-15\right)-\frac{378}{13}$$

Умножьте -\frac{7}{13} на -15.

$$x=\frac{105-378}{13}$$

Прибавьте -\frac{378}{13} к \frac{105}{13}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-21$$

Система решена.

$$x=-21,y=-15$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$13x+7y=-378,x-4y=39$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}13&7\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-378\\39\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}13&7\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&7\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&7\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&7\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-378\\39\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&7\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-378\\39\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&7\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-378\\39\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13\left(-4\right)-7}&-\frac{7}{13\left(-4\right)-7}\\-\frac{1}{13\left(-4\right)-7}&\frac{13}{13\left(-4\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-378\\39\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{59}&\frac{7}{59}\\\frac{1}{59}&-\frac{13}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-378\\39\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{59}\left(-378\right)+\frac{7}{59}\times 39\\\frac{1}{59}\left(-378\right)-\frac{13}{59}\times 39\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-15\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-21,y=-15$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$13x+7y=-378,x-4y=39$$

Чтобы сделать 13x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 13.

$$13x+7y=-378,13x+13\left(-4\right)y=13\times 39$$

Упростите.

$$13x+7y=-378,13x-52y=507$$

Вычтите 13x-52y=507 из 13x+7y=-378 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$13x-13x+7y+52y=-378-507$$

Прибавьте 13x к -13x. Члены 13x и -13x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$7y+52y=-378-507$$

Прибавьте 7y к 52y.

$$59y=-378-507$$

Прибавьте -378 к -507.

$$59y=-885$$

Разделите обе части на 59.

$$y=-15$$

Подставьте -15 вместо y в x-4y=39. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x-4\left(-15\right)=39$$

Умножьте -4 на -15.

$$x+60=39$$

Вычтите 60 из обеих частей уравнения.

$$x=-21$$

Система решена.

$$x=-21,y=-15$$