Решить 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Найдите n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 13n^{2}+an+bn-120. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -41.

$$a=-65 b=24$$

Перепишите 13n^{2}-41n-120 как \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Разложите 13n в первом и 24 в второй группе.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-5=0 и 13n+24=0у.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 13 вместо a, -41 вместо b и -120 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Возведите -41 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Умножьте -4 на 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Умножьте -52 на -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Прибавьте 1681 к 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Извлеките квадратный корень из 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Число, противоположное -41, равно 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Умножьте 2 на 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Решите уравнение n=\frac{41±89}{26} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 41 к 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Разделите 130 на 26.

$$n=5$$

Решите уравнение n=\frac{41±89}{26} при условии, что ± — минус. Вычтите 89 из 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Привести дробь \frac{-48}{26} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Уравнение решено.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Прибавьте 120 к обеим частям уравнения.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Если из -120 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Вычтите -120 из 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Разделите обе части на 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Деление на 13 аннулирует операцию умножения на 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Деление -\frac{41}{13}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{41}{26}. Затем добавьте квадрат -\frac{41}{26} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{41}{26} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Прибавьте \frac{120}{13} к \frac{1681}{676}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Коэффициент n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Упростите.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Прибавьте \frac{41}{26} к обеим частям уравнения.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$