Решить 13a^2-12a-9=0

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

Найдите a

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1,413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0,489947452$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 13 вместо a, -12 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Умножьте -4 на 13.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Умножьте -52 на -9.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

Прибавьте 144 к 468.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

Извлеките квадратный корень из 612.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Умножьте 2 на 13.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

Решите уравнение a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 6\sqrt{17}.

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

Разделите 12+6\sqrt{17} на 26.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

Решите уравнение a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} при условии, что ± — минус. Вычтите 6\sqrt{17} из 12.

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

Разделите 12-6\sqrt{17} на 26.

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Уравнение решено.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$13a^{2}-12a=9$$

Разделите обе части на 13.

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

Деление на 13 аннулирует операцию умножения на 13.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

Деление -\frac{12}{13}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{6}{13}. Затем добавьте квадрат -\frac{6}{13} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{6}{13} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

Прибавьте \frac{9}{13} к \frac{36}{169}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

Коэффициент a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

Упростите.

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

Прибавьте \frac{6}{13} к обеим частям уравнения.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$