Решить 12x-4-9x^2=0

$$12x-4-9 { x }^{ 2 } = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-9x^{2}+12x-4=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -9x^{2}+ax+bx-4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=12 ab=-9\left(-4\right)=36$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 12.

$$a=6 b=6$$

Перепишите -9x^{2}+12x-4 как \left(-9x^{2}+6x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(-9x^{2}+6x\right)+\left(6x-4\right)$$

Разложите -3x в первом и 2 в второй группе.

$$-3x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-2\right)\left(-3x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-2=0 и -3x+2=0у.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-9x^{2}+12x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -9 вместо a, 12 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-4\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Возведите 12 в квадрат.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-4\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте -4 на -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-4\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 36 на -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\left(-9\right)}$$

Прибавьте 144 к -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\left(-9\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{12}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 2 на -9.

$$x=-\frac{12}{-18}$$

Привести дробь \frac{-12}{-18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+12x-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$-9x^{2}+12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-4\right)$$

Вычтите -4 из 0.

$$-9x^{2}+12x=4$$

Разделите обе части на -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{4}{-9}$$

Деление на -9 аннулирует операцию умножения на -9.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{4}{-9}$$

Привести дробь \frac{12}{-9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{-9}$$

Разделите 4 на -9.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Деление -\frac{4}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{2}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{2}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Прибавьте -\frac{4}{9} к \frac{4}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Коэффициент x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Прибавьте \frac{2}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=\frac{2}{3}$$