Решить 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-2300. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 200.

$$a=-30 b=230$$

Перепишите 3x^{2}+200x-2300 как \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Разложите 3x в первом и 230 в второй группе.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и 3x+230=0у.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 120 вместо a, 8000 вместо b и -92000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Возведите 8000 в квадрат.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Умножьте -4 на 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Умножьте -480 на -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Прибавьте 64000000 к 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Извлеките квадратный корень из 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Умножьте 2 на 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Решите уравнение x=\frac{-8000±10400}{240} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8000 к 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Разделите 2400 на 240.

$$x=10$$

Решите уравнение x=\frac{-8000±10400}{240} при условии, что ± — минус. Вычтите 10400 из -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Привести дробь \frac{-18400}{240} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Прибавьте 92000 к обеим частям уравнения.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Если из -92000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Вычтите -92000 из 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Разделите обе части на 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Деление на 120 аннулирует операцию умножения на 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Привести дробь \frac{8000}{120} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Привести дробь \frac{92000}{120} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Деление \frac{200}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{100}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{100}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{100}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Прибавьте \frac{2300}{3} к \frac{10000}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Вычтите \frac{100}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$