Решить 12x^5-8x^4-27x^3+24x^2+5x-6

$$12 x ^ { 5 } - 8 x ^ { 4 } - 27 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } + 5 x - 6$$

Разложить на множители

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x-1\right)^{2}$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -6, а q делит старший коэффициент 12. Одним из таких корней является -\frac{1}{2}. Разложите многочлен на множители, разделив его на 2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(6x^{4}-7x^{3}-10x^{2}+17x-6\right)$$

Учтите 6x^{4}-7x^{3}-10x^{2}+17x-6. Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -6, а q делит старший коэффициент 6. Одним из таких корней является 1. Разложите многочлен на множители, разделив его на x-1.

$$\left(x-1\right)\left(6x^{3}-x^{2}-11x+6\right)$$

Учтите 6x^{3}-x^{2}-11x+6. Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 6, а q делит старший коэффициент 6. Одним из таких корней является 1. Разложите многочлен на множители, разделив его на x-1.

$$\left(x-1\right)\left(6x^{2}+5x-6\right)$$

Учтите 6x^{2}+5x-6. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx-6. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-4 b=9$$

Перепишите 6x^{2}+5x-6 как \left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right)$$

Разложите 2x в первом и 3 в второй группе.

$$2x\left(3x-2\right)+3\left(3x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+3\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x-1\right)^{2}$$

Вычислить

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x-1\right)^{2}$$