Решить 12x^2-5x-3=0

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 12x^{2}+ax+bx-3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-9 b=4$$

Перепишите 12x^{2}-5x-3 как \left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right)$$

Вынесите за скобки 3x в 12x^{2}-9x.

$$3x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Вынесите за скобки общий член 4x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-3=0 и 3x+1=0у.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, -5 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

Прибавьте 25 к 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 12}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{5±13}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{5±13}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 13.

$$x=\frac{18}{24}$$

Привести дробь \frac{18}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{5±13}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Привести дробь \frac{-8}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$12x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$12x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$12x^{2}-5x=3$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12x^{2}-5x}{12}=\frac{3}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{3}{12}$$

Привести дробь \frac{3}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{1}{4}$$

Деление -\frac{5}{12}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{24}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{24} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{24} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{4}+\frac{25}{576}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к \frac{25}{576}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{169}{576}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{13}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{13}{24}$$

Прибавьте \frac{5}{24} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$