Решить 12x^2-5x-2

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 2$$

Разложить на множители

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 12x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=12\left(-2\right)=-24$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-8 b=3$$

Перепишите 12x^{2}-5x-2 как \left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right).

$$\left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right)$$

Вынесите за скобки 4x в 12x^{2}-8x.

$$4x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Вынесите за скобки общий член 3x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-5x-2=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 12}$$

Прибавьте 25 к 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 12}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±11}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{5±11}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{5±11}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 11.

$$x=\frac{16}{24}$$

Привести дробь \frac{16}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{2}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{5±11}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из 5.

$$x=-\frac{6}{24}$$

Привести дробь \frac{-6}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{2}{3} вместо x_{1} и -\frac{1}{4} вместо x_{2}.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Вычтите \frac{2}{3} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Прибавьте \frac{1}{4} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{4x+1}{4}$$

Умножьте \frac{3x-2}{3} на \frac{4x+1}{4}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{3\times 4}$$

Умножьте 3 на 4.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{12}$$

Сократите наибольший общий делитель 12 в 12 и 12.

$$12x^{2}-5x-2=\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Вычислить

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$