Решить 12x^2-4x-1

$$12 x ^ { 2 } - 4 x - 1$$

Разложить на множители

$$\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 12x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=12\left(-1\right)=-12$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-6 b=2$$

Перепишите 12x^{2}-4x-1 как \left(12x^{2}-6x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(12x^{2}-6x\right)+\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки 6x в 12x^{2}-6x.

$$6x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-4x-1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 12\left(-1\right)}}{2\times 12}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 12\left(-1\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-48\left(-1\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 12}$$

Прибавьте 16 к 48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 12}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{4±8}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{4±8}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 8.

$$x=\frac{12}{24}$$

Привести дробь \frac{12}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 12.

$$x=\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{4±8}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 8 из 4.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Привести дробь \frac{-4}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{1}{2} вместо x_{1} и -\frac{1}{6} вместо x_{2}.

$$12x^{2}-4x-1=12\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{6}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$12x^{2}-4x-1=12\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{6}\right)$$

Вычтите \frac{1}{2} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12x^{2}-4x-1=12\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{1}{6}\right)$$

Прибавьте \frac{1}{6} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12x^{2}-4x-1=12\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{6x+1}{6}$$

Умножьте \frac{2x-1}{2} на \frac{6x+1}{6}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12x^{2}-4x-1=12\times \frac{\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$12x^{2}-4x-1=12\times \frac{\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)}{12}$$

Сократите наибольший общий делитель 12 в 12 и 12.

$$12x^{2}-4x-1=\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Вычислить

$$\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$$