Решить 12x^2-320x+1600=0

$$12 x ^ { 2 } - 320 x + 1600 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

$$x=20$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, -320 вместо b и 1600 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{\left(-320\right)^{2}-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

Возведите -320 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-48\times 1600}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на 1600.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-76800}}{2\times 12}$$

Прибавьте 102400 к -76800.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{25600}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 25600.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±160}{2\times 12}$$

Число, противоположное -320, равно 320.

$$x=\frac{320±160}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{320±160}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{320±160}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 320 к 160.

$$x=\frac{480}{24}$$

Разделите 480 на 24.

$$x=20$$

Решите уравнение x=\frac{320±160}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 160 из 320.

$$x=\frac{160}{24}$$

Привести дробь \frac{160}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{20}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

Вычтите 1600 из обеих частей уравнения.

$$12x^{2}-320x+1600-1600=-1600$$

Если из 1600 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$12x^{2}-320x=-1600$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12x^{2}-320x}{12}=-\frac{1600}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{320}{12}\right)x=-\frac{1600}{12}$$

Привести дробь \frac{-320}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{1600}{12}$$

Привести дробь \frac{-1600}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{400}{3}$$

Разделите -\frac{80}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{40}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{40}{3} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}=-\frac{400}{3}+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{40}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=-\frac{400}{3}+\frac{1600}{9}$$

Прибавьте -\frac{400}{3} к \frac{1600}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=\frac{400}{9}$$

Разложите x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{40}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{40}{3}=-\frac{20}{3}$$

Прибавьте \frac{40}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$