Решить 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, -2 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Прибавьте 4 к -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Разделите 2+2i\sqrt{59} на 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{59} из 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Разделите 2-2i\sqrt{59} на 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Привести дробь \frac{-2}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Деление -\frac{1}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{12}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Прибавьте -\frac{5}{12} к \frac{1}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Прибавьте \frac{1}{12} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$