Решить 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, -12 вместо b и -6 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Прибавьте 144 к 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Разделите 12+12\sqrt{3} на 24.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 12\sqrt{3} из 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Разделите 12-12\sqrt{3} на 24.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Если из -6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Вычтите -6 из 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Разделите -12 на 12.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Привести дробь \frac{6}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$