Решить 12x^2+23x-24

$$12 x ^ { 2 } + 23 x - 24$$

Разложить на множители

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 12x^{2}+ax+bx-24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=23 ab=12\left(-24\right)=-288$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -288.

$$-1,288 -2,144 -3,96 -4,72 -6,48 -8,36 -9,32 -12,24 -16,18$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+288=287 -2+144=142 -3+96=93 -4+72=68 -6+48=42 -8+36=28 -9+32=23 -12+24=12 -16+18=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 23.

$$a=-9 b=32$$

Перепишите 12x^{2}+23x-24 как \left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right)$$

Разложите 3x в первом и 8 в второй группе.

$$3x\left(4x-3\right)+8\left(4x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+23x-24=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Возведите 23 в квадрат.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-48\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -24.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1152}}{2\times 12}$$

Прибавьте 529 к 1152.

$$x=\frac{-23±\sqrt{1681}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 1681.

$$x=\frac{-23±41}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{-23±41}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{-23±41}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -23 к 41.

$$x=\frac{18}{24}$$

Привести дробь \frac{18}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-23±41}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 41 из -23.

$$x=-\frac{64}{24}$$

Привести дробь \frac{-64}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{3}{4} вместо x_{1} и -\frac{8}{3} вместо x_{2}.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Вычтите \frac{3}{4} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Прибавьте \frac{8}{3} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+8}{3}$$

Умножьте \frac{4x-3}{4} на \frac{3x+8}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{4\times 3}$$

Умножьте 4 на 3.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{12}$$

Сократите наибольший общий делитель 12 в 12 и 12.

$$12x^{2}+23x-24=\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Вычислить

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$