Решить 12x^2+11x=-2

$$12 x ^ { 2 } + 11 x = - 2$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 2 к обеим частям.

$$12x^{2}+11x+2=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 12x^{2}+ax+bx+2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=12\times 2=24$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=3 b=8$$

Перепишите 12x^{2}+11x+2 как \left(12x^{2}+3x\right)+\left(8x+2\right).

$$\left(12x^{2}+3x\right)+\left(8x+2\right)$$

Разложите 3x в первом и 2 в второй группе.

$$3x\left(4x+1\right)+2\left(4x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x+1=0 и 3x+2=0у.

$$x=-\frac{1}{4} x=-\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12x^{2}+11x=-2$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$12x^{2}+11x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$12x^{2}+11x-\left(-2\right)=0$$

Вычтите -2 из 0.

$$12x^{2}+11x+2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, 11 вместо b и 2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\times 2}}{2\times 12}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\times 2}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-48\times 2}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2\times 12}$$

Прибавьте 121 к -96.

$$x=\frac{-11±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$x=\frac{-11±5}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{-11±5}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±5}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 5.

$$x=-\frac{6}{24}$$

Привести дробь \frac{-6}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±5}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из -11.

$$x=-\frac{16}{24}$$

Привести дробь \frac{-16}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{4} x=-\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+11x=-2$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12x^{2}+11x}{12}=-\frac{2}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=-\frac{2}{12}$$

Привести дробь \frac{-2}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=-\frac{1}{6}$$

Деление \frac{11}{12}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{24}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{24} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{24} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=-\frac{1}{6}+\frac{121}{576}$$

Прибавьте -\frac{1}{6} к \frac{121}{576}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{25}{576}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{11}{24}=-\frac{5}{24}$$

Вычтите \frac{11}{24} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{4} x=-\frac{2}{3}$$