Решить 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

Разложить на множители

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 12t^{2}+at+bt-10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-15 b=8$$

Перепишите 12t^{2}-7t-10 как \left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

Разложите 3t в первом и 2 в второй группе.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4t-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

Прибавьте 49 к 480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 529.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

Решите уравнение t=\frac{7±23}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 23.

$$t=\frac{30}{24}$$

Привести дробь \frac{30}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

Решите уравнение t=\frac{7±23}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 23 из 7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

Привести дробь \frac{-16}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$t=-\frac{2}{3}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{5}{4} вместо x_{1} и -\frac{2}{3} вместо x_{2}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Вычтите \frac{5}{4} из t. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Прибавьте \frac{2}{3} к t, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

Умножьте \frac{4t-5}{4} на \frac{3t+2}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

Умножьте 4 на 3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

Сократите наибольший общий делитель 12 в 12 и 12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Вычислить

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$