Решить 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Найдите r

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 12r^{2}+ar+br-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-20 b=9$$

Перепишите 12r^{2}-11r-15 как \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Разложите 4r в первом и 3 в второй группе.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3r-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3r-5=0 и 4r+3=0у.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, -11 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Возведите -11 в квадрат.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Прибавьте 121 к 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Число, противоположное -11, равно 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Решите уравнение r=\frac{11±29}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 11 к 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Привести дробь \frac{40}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Решите уравнение r=\frac{11±29}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 29 из 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Привести дробь \frac{-18}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Уравнение решено.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Если из -15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Вычтите -15 из 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Привести дробь \frac{15}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Деление -\frac{11}{12}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{24}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{24} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{24} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Прибавьте \frac{5}{4} к \frac{121}{576}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Коэффициент r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Упростите.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Прибавьте \frac{11}{24} к обеим частям уравнения.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$