Решить 12q^2+23q+10

$$12 q ^ { 2 } + 23 q + 10$$

Разложить на множители

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 12q^{2}+aq+bq+10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=23 ab=12\times 10=120$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 23.

$$a=8 b=15$$

Перепишите 12q^{2}+23q+10 как \left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right).

$$\left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right)$$

Разложите 4q в первом и 5 в второй группе.

$$4q\left(3q+2\right)+5\left(3q+2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3q+2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$12q^{2}+23q+10=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$q=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Возведите 23 в квадрат.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-48\times 10}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на 10.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\times 12}$$

Прибавьте 529 к -480.

$$q=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$q=\frac{-23±7}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$q=\frac{-23±7}{24}$$

Решите уравнение q=\frac{-23±7}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -23 к 7.

$$q=-\frac{16}{24}$$

Привести дробь \frac{-16}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$q=-\frac{2}{3}$$

Решите уравнение q=\frac{-23±7}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из -23.

$$q=-\frac{30}{24}$$

Привести дробь \frac{-30}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$q=-\frac{5}{4}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте -\frac{2}{3} вместо x_{1} и -\frac{5}{4} вместо x_{2}.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(q-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q+\frac{2}{3}\right)\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

Прибавьте \frac{2}{3} к q, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

Прибавьте \frac{5}{4} к q, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\times \frac{4q+5}{4}$$

Умножьте \frac{3q+2}{3} на \frac{4q+5}{4}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{3\times 4}$$

Умножьте 3 на 4.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{12}$$

Сократите наибольший общий делитель 12 в 12 и 12.

$$12q^{2}+23q+10=\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Вычислить

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$