Решить 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Разложить на множители

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 12c^{2}+ac+bc-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=-9 b=20$$

Перепишите 12c^{2}+11c-15 как \left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

Разложите 3c в первом и 5 в второй группе.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4c-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Прибавьте 121 к 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Решите уравнение c=\frac{-11±29}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Привести дробь \frac{18}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$c=\frac{3}{4}$$

Решите уравнение c=\frac{-11±29}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 29 из -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Привести дробь \frac{-40}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{3}{4} вместо x_{1} и -\frac{5}{3} вместо x_{2}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Вычтите \frac{3}{4} из c. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Прибавьте \frac{5}{3} к c, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Умножьте \frac{4c-3}{4} на \frac{3c+5}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Умножьте 4 на 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Сократите наибольший общий делитель 12 в 12 и 12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Вычислить

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$