Решить 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Найдите n

$$n=6$$

$$n=15$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы умножить 12 на n-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Вычтите 30 из -48, чтобы получить -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Вычтите n^{2} из обеих частей уравнения.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Прибавьте 9n к обеим частям.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Объедините 12n и 9n, чтобы получить 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Вычтите 12 из -78, чтобы получить -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -n^{2}+an+bn-90. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 90 продукта.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 21.

$$a=15 b=6$$

Перепишите -n^{2}+21n-90 как \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Вынесите за скобки -n в первой и 6 во второй группе.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-15, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-15=0 и -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 12 на n-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Вычтите 30 из -48, чтобы получить -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Вычтите n^{2} из обеих частей уравнения.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Прибавьте 9n к обеим частям.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Объедините 12n и 9n, чтобы получить 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Вычтите 12 из -78, чтобы получить -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 21 вместо b и -90 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 21 в квадрат.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 441 к -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Решите уравнение n=\frac{-21±9}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -21 к 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Разделите -12 на -2.

$$n=6$$

Решите уравнение n=\frac{-21±9}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Разделите -30 на -2.

$$n=15$$

Уравнение решено.

$$n=6 n=15$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить 12 на n-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Вычтите 30 из -48, чтобы получить -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Вычтите n^{2} из обеих частей уравнения.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Прибавьте 9n к обеим частям.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Объедините 12n и 9n, чтобы получить 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Прибавьте 78 к обеим частям.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Чтобы вычислить 90, сложите 12 и 78.

$$21n-n^{2}=90$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Разделите 21 на -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Разделите 90 на -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Разделите -21, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{21}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{21}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{21}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Прибавьте -90 к \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Разложите n^{2}-21n+\frac{441}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Упростите.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Прибавьте \frac{21}{2} к обеим частям уравнения.

$$n=15 n=6$$