Решить 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Разложить на множители

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 12z^{2}+az+bz-12. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-16 b=9$$

Перепишите 12z^{2}-7z-12 как \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Разложите 4z в первом и 3 в второй группе.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3z-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Прибавьте 49 к 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Решите уравнение z=\frac{7±25}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Привести дробь \frac{32}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Решите уравнение z=\frac{7±25}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 25 из 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Привести дробь \frac{-18}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{4}{3} вместо x_{1} и -\frac{3}{4} вместо x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Вычтите \frac{4}{3} из z. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Прибавьте \frac{3}{4} к z, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Умножьте \frac{3z-4}{3} на \frac{4z+3}{4}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Умножьте 3 на 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Сократите наибольший общий делитель 12 в 12 и 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Вычислить

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$