Решить 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 12x^{2}+ax+bx+5. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 60 продукта.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 32.

$$a=2 b=30$$

Перепишите 12x^{2}+32x+5 как \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Вынесите за скобки 2x в первой и 5 во второй группе.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 6x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 6x+1=0 и 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, 32 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Возведите 32 в квадрат.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Прибавьте 1024 к -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{-32±28}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -32 к 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Привести дробь \frac{-4}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-32±28}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 28 из -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Привести дробь \frac{-60}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Привести дробь \frac{32}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Разделите \frac{8}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{4}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{4}{3} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{4}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Прибавьте -\frac{5}{12} к \frac{16}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Разложите x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Вычтите \frac{4}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$