Решить 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, 25 вместо b и -45 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Возведите 25 в квадрат.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Прибавьте 625 к 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -25 к \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{2785} из -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Прибавьте 45 к обеим частям уравнения.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Если из -45 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Вычтите -45 из 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Привести дробь \frac{45}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Разделите \frac{25}{12}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{25}{24}. Затем добавьте квадрат \frac{25}{24} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Возведите \frac{25}{24} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Прибавьте \frac{15}{4} к \frac{625}{576}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Разложите x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Упростите.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Вычтите \frac{25}{24} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$