Решить 12t^2+17t=40

$$12 { t }^{ 2 } +17t = 40$$

Найдите t

$$t = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$t = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 40 из обеих частей уравнения.

$$12t^{2}+17t-40=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 12t^{2}+at+bt-40. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=17 ab=12\left(-40\right)=-480$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -480.

$$-1,480 -2,240 -3,160 -4,120 -5,96 -6,80 -8,60 -10,48 -12,40 -15,32 -16,30 -20,24$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+480=479 -2+240=238 -3+160=157 -4+120=116 -5+96=91 -6+80=74 -8+60=52 -10+48=38 -12+40=28 -15+32=17 -16+30=14 -20+24=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 17.

$$a=-15 b=32$$

Перепишите 12t^{2}+17t-40 как \left(12t^{2}-15t\right)+\left(32t-40\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(32t-40\right)$$

Разложите 3t в первом и 8 в второй группе.

$$3t\left(4t-5\right)+8\left(4t-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4t-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4t-5=0 и 3t+8=0у.

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12t^{2}+17t=40$$

Вычтите 40 из обеих частей уравнения.

$$12t^{2}+17t-40=40-40$$

Если из 40 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$12t^{2}+17t-40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, 17 вместо b и -40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

Возведите 17 в квадрат.

$$t=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$t=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -40.

$$t=\frac{-17±\sqrt{289+1920}}{2\times 12}$$

Прибавьте 289 к 1920.

$$t=\frac{-17±\sqrt{2209}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 2209.

$$t=\frac{-17±47}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$t=\frac{-17±47}{24}$$

Решите уравнение t=\frac{-17±47}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -17 к 47.

$$t=\frac{30}{24}$$

Привести дробь \frac{30}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

Решите уравнение t=\frac{-17±47}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 47 из -17.

$$t=-\frac{64}{24}$$

Привести дробь \frac{-64}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$t=-\frac{8}{3}$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12t^{2}+17t=40$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12t^{2}+17t}{12}=\frac{40}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t=\frac{40}{12}$$

Привести дробь \frac{40}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t=\frac{10}{3}$$

Деление \frac{17}{12}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{17}{24}. Затем добавьте квадрат \frac{17}{24} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Возведите \frac{17}{24} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}=\frac{10}{3}+\frac{289}{576}$$

Прибавьте \frac{10}{3} к \frac{289}{576}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}=\frac{2209}{576}$$

Коэффициент t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{2209}{576}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{576}}$$

Упростите.

$$t+\frac{17}{24}=\frac{47}{24} t+\frac{17}{24}=-\frac{47}{24}$$

Вычтите \frac{17}{24} из обеих частей уравнения.

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$