Решить 11=1+20x-49x^2

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0,204081633-0,403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0,204081633+0,403028932i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Вычтите 11 из обеих частей уравнения.

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

Вычтите 11 из 1, чтобы получить -10.

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -49 вместо a, 20 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Возведите 20 в квадрат.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Умножьте -4 на -49.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Умножьте 196 на -10.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

Прибавьте 400 к -1960.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -1560.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

Умножьте 2 на -49.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

Решите уравнение x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -20 к 2i\sqrt{390}.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

Разделите -20+2i\sqrt{390} на -98.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

Решите уравнение x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{390} из -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

Разделите -20-2i\sqrt{390} на -98.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$20x-49x^{2}=11-1$$

Вычтите 1 из 11, чтобы получить 10.

$$20x-49x^{2}=10$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-49x^{2}+20x=10$$

Разделите обе части на -49.

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

Деление на -49 аннулирует операцию умножения на -49.

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

Разделите 20 на -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

Разделите 10 на -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

Деление -\frac{20}{49}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{10}{49}. Затем добавьте квадрат -\frac{10}{49} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{10}{49} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

Прибавьте -\frac{10}{49} к \frac{100}{2401}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

Упростите.

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

Прибавьте \frac{10}{49} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$