Решить 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Найдите y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 3y^{2} из обеих частей уравнения.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Прибавьте 4 к обеим частям.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -3y^{2}+ay+by+4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=12 b=-1$$

Перепишите -3y^{2}+11y+4 как \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Вынесите за скобки 3y в -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Вынесите за скобки общий член -y+4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -y+4=0 и 3y+1=0у.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 3y^{2} из обеих частей уравнения.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Прибавьте 4 к обеим частям.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, 11 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 121 к 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Решите уравнение y=\frac{-11±13}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Привести дробь \frac{2}{-6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Решите уравнение y=\frac{-11±13}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Разделите -24 на -6.

$$y=4$$

Уравнение решено.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите 3y^{2} из обеих частей уравнения.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Разделите 11 на -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Разделите -4 на -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Деление -\frac{11}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Прибавьте \frac{4}{3} к \frac{121}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Коэффициент y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Упростите.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Прибавьте \frac{11}{6} к обеим частям уравнения.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$