Решить 11x^2-122x+11

$$11 x ^ { 2 } - 122 x + 11$$

Разложить на множители

$$\left(x-11\right)\left(11x-1\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 11x^{2}+ax+bx+11. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-122 ab=11\times 11=121$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 121.

$$-1,-121 -11,-11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-121=-122 -11-11=-22$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -122.

$$a=-121 b=-1$$

Перепишите 11x^{2}-122x+11 как \left(11x^{2}-121x\right)+\left(-x+11\right).

$$\left(11x^{2}-121x\right)+\left(-x+11\right)$$

Разложите 11x в первом и -1 в второй группе.

$$11x\left(x-11\right)-\left(x-11\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-11\right)\left(11x-1\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-122x+11=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{\left(-122\right)^{2}-4\times 11\times 11}}{2\times 11}$$

Возведите -122 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{14884-4\times 11\times 11}}{2\times 11}$$

Умножьте -4 на 11.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{14884-44\times 11}}{2\times 11}$$

Умножьте -44 на 11.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{14884-484}}{2\times 11}$$

Прибавьте 14884 к -484.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±\sqrt{14400}}{2\times 11}$$

Извлеките квадратный корень из 14400.

$$x=\frac{-\left(-122\right)±120}{2\times 11}$$

Число, противоположное -122, равно 122.

$$x=\frac{122±120}{2\times 11}$$

Умножьте 2 на 11.

$$x=\frac{122±120}{22}$$

Решите уравнение x=\frac{122±120}{22} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 122 к 120.

$$x=\frac{242}{22}$$

Разделите 242 на 22.

$$x=11$$

Решите уравнение x=\frac{122±120}{22} при условии, что ± — минус. Вычтите 120 из 122.

$$x=\frac{2}{22}$$

Привести дробь \frac{2}{22} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{11}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте 11 вместо x_{1} и \frac{1}{11} вместо x_{2}.

$$11x^{2}-122x+11=11\left(x-11\right)\left(x-\frac{1}{11}\right)$$

Вычтите \frac{1}{11} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$11x^{2}-122x+11=11\left(x-11\right)\times \frac{11x-1}{11}$$

Сократите наибольший общий делитель 11 в 11 и 11.

$$11x^{2}-122x+11=\left(x-11\right)\left(11x-1\right)$$

Вычислить

$$\left(x-11\right)\left(11x-1\right)$$