Решить 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 11 вместо a, -10 вместо b и 13 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Умножьте -4 на 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Умножьте -44 на 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Прибавьте 100 к -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Извлеките квадратный корень из -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Умножьте 2 на 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Разделите 10+2i\sqrt{118} на 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{118} из 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Разделите 10-2i\sqrt{118} на 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Вычтите 13 из обеих частей уравнения.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Если из 13 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Разделите обе части на 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Деление на 11 аннулирует операцию умножения на 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Деление -\frac{10}{11}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{11}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{11} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{11} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Прибавьте -\frac{13}{11} к \frac{25}{121}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Прибавьте \frac{5}{11} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$