Решить 11x^2+9x+4=0

$$11 { x }^{ 2 } +9x+4=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}\approx -0,409090909+0,443036107i$$

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}\approx -0,409090909-0,443036107i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 11 вместо a, 9 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

Умножьте -4 на 11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-44\times 4}}{2\times 11}$$

Умножьте -44 на 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-176}}{2\times 11}$$

Прибавьте 81 к -176.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-95}}{2\times 11}$$

Извлеките квадратный корень из -95.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{2\times 11}$$

Умножьте 2 на 11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к i\sqrt{95}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{95} из -9.

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$11x^{2}+9x+4-4=-4$$

Если из 4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$11x^{2}+9x=-4$$

Разделите обе части на 11.

$$\frac{11x^{2}+9x}{11}=-\frac{4}{11}$$

Деление на 11 аннулирует операцию умножения на 11.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x=-\frac{4}{11}$$

Разделите \frac{9}{11}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{9}{22}. Затем добавьте квадрат \frac{9}{22} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{4}{11}+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}$$

Возведите \frac{9}{22} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{4}{11}+\frac{81}{484}$$

Прибавьте -\frac{4}{11} к \frac{81}{484}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{95}{484}$$

Разложите x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{95}{484}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{95}{484}}$$

Упростите.

$$x+\frac{9}{22}=\frac{\sqrt{95}i}{22} x+\frac{9}{22}=-\frac{\sqrt{95}i}{22}$$

Вычтите \frac{9}{22} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$