Решить 11x^2+4x-2=0

$$11 { x }^{ 2 } +4x-2=0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11}\approx 0,281729047$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}\approx -0,64536541$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$11x^{2}+4x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 11 вместо a, 4 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Умножьте -4 на 11.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Умножьте -44 на -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+88}}{2\times 11}$$

Прибавьте 16 к 88.

$$x=\frac{-4±\sqrt{104}}{2\times 11}$$

Извлеките квадратный корень из 104.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{2\times 11}$$

Умножьте 2 на 11.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 2\sqrt{26}.

$$x=\frac{2\sqrt{26}-4}{22}$$

Разделите -4+2\sqrt{26} на 22.

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{26} из -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}-4}{22}$$

Разделите -4-2\sqrt{26} на 22.

$$x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11} x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}+4x-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$11x^{2}+4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$11x^{2}+4x=-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 0.

$$11x^{2}+4x=2$$

Разделите обе части на 11.

$$\frac{11x^{2}+4x}{11}=\frac{2}{11}$$

Деление на 11 аннулирует операцию умножения на 11.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x=\frac{2}{11}$$

Деление \frac{4}{11}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{2}{11}. Затем добавьте квадрат \frac{2}{11} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\left(\frac{2}{11}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{2}{11}\right)^{2}$$

Возведите \frac{2}{11} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}=\frac{2}{11}+\frac{4}{121}$$

Прибавьте \frac{2}{11} к \frac{4}{121}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}=\frac{26}{121}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{11}\right)^{2}=\frac{26}{121}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{26}{121}}$$

Упростите.

$$x+\frac{2}{11}=\frac{\sqrt{26}}{11} x+\frac{2}{11}=-\frac{\sqrt{26}}{11}$$

Вычтите \frac{2}{11} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11} x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$