Решить 1034=x^2+30x-110

$$1034 = x ^ { 2 } + 30 x - 110$$

Найдите x

$$x=-52$$

$$x=22$$

Способ разложения на множители

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Вычтите 1034 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

Вычтите 1034 из -110, чтобы получить -1144.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+30x-1144 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=30 ab=-1144$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -1144.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 30.

$$a=-22 b=52$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-22=0 и x+52=0у.

$$x=22 x=-52$$

Способ разложения на множители путем группировки

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Вычтите 1034 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

Вычтите 1034 из -110, чтобы получить -1144.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-1144. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=30 ab=1\left(-1144\right)=-1144$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -1144.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 30.

$$a=-22 b=52$$

Перепишите x^{2}+30x-1144 как \left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right).

$$\left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right)$$

Разложите x в первом и 52 в второй группе.

$$x\left(x-22\right)+52\left(x-22\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-22, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-22=0 и x+52=0у.

$$x=22 x=-52$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Вычтите 1034 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

Вычтите 1034 из -110, чтобы получить -1144.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 30 вместо b и -1144 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-1144\right)}}{2}$$

Возведите 30 в квадрат.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-1144\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -1144.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+4576}}{2}$$

Прибавьте 900 к 4576.

$$x=\frac{-30±\sqrt{5476}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 5476.

$$x=\frac{-30±74}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-30±74}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -30 к 74.

$$x=\frac{44}{2}$$

Разделите 44 на 2.

$$x=22$$

Решите уравнение x=\frac{-30±74}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 74 из -30.

$$x=-\frac{104}{2}$$

Разделите -104 на 2.

$$x=-52$$

Уравнение решено.

$$x=22 x=-52$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Прибавьте 110 к обеим частям.

$$x^{2}+30x=1034+110$$

Чтобы вычислить 1144, сложите 1034 и 110.

$$x^{2}+30x=1144$$

Деление 30, коэффициент x термина, 2 для получения 15. Затем добавьте квадрат 15 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+30x+15^{2}=1144+15^{2}$$

Возведите 15 в квадрат.

$$x^{2}+30x+225=1144+225$$

Прибавьте 1144 к 225.

$$x^{2}+30x+225=1369$$

Коэффициент x^{2}+30x+225. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+15\right)^{2}=1369$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{1369}$$

Упростите.

$$x+15=37 x+15=-37$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$x=22 x=-52$$