Решить 101y^2-100y=-24

$$101 { y }^{ 2 } -100y=-24$$

Найдите y

$$y=\frac{2\sqrt{19}+50}{101}\approx 0,581364336$$

$$y=\frac{50-2\sqrt{19}}{101}\approx 0,408734674$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$101y^{2}-100y=-24$$

Прибавьте 24 к обеим частям уравнения.

$$101y^{2}-100y-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Если из -24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$101y^{2}-100y-\left(-24\right)=0$$

Вычтите -24 из 0.

$$101y^{2}-100y+24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 101 вместо a, -100 вместо b и 24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 101\times 24}}{2\times 101}$$

Возведите -100 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 101\times 24}}{2\times 101}$$

Умножьте -4 на 101.

$$y=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-404\times 24}}{2\times 101}$$

Умножьте -404 на 24.

$$y=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-9696}}{2\times 101}$$

Прибавьте 10000 к -9696.

$$y=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{304}}{2\times 101}$$

Извлеките квадратный корень из 304.

$$y=\frac{-\left(-100\right)±4\sqrt{19}}{2\times 101}$$

Число, противоположное -100, равно 100.

$$y=\frac{100±4\sqrt{19}}{2\times 101}$$

Умножьте 2 на 101.

$$y=\frac{100±4\sqrt{19}}{202}$$

Решите уравнение y=\frac{100±4\sqrt{19}}{202} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 100 к 4\sqrt{19}.

$$y=\frac{4\sqrt{19}+100}{202}$$

Разделите 100+4\sqrt{19} на 202.

$$y=\frac{2\sqrt{19}+50}{101}$$

Решите уравнение y=\frac{100±4\sqrt{19}}{202} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{19} из 100.

$$y=\frac{100-4\sqrt{19}}{202}$$

Разделите 100-4\sqrt{19} на 202.

$$y=\frac{50-2\sqrt{19}}{101}$$

Уравнение решено.

$$y=\frac{2\sqrt{19}+50}{101} y=\frac{50-2\sqrt{19}}{101}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$101y^{2}-100y=-24$$

Разделите обе части на 101.

$$\frac{101y^{2}-100y}{101}=-\frac{24}{101}$$

Деление на 101 аннулирует операцию умножения на 101.

$$y^{2}-\frac{100}{101}y=-\frac{24}{101}$$

Деление -\frac{100}{101}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{50}{101}. Затем добавьте квадрат -\frac{50}{101} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-\frac{100}{101}y+\left(-\frac{50}{101}\right)^{2}=-\frac{24}{101}+\left(-\frac{50}{101}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{50}{101} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-\frac{100}{101}y+\frac{2500}{10201}=-\frac{24}{101}+\frac{2500}{10201}$$

Прибавьте -\frac{24}{101} к \frac{2500}{10201}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}-\frac{100}{101}y+\frac{2500}{10201}=\frac{76}{10201}$$

Коэффициент y^{2}-\frac{100}{101}y+\frac{2500}{10201}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{50}{101}\right)^{2}=\frac{76}{10201}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{50}{101}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{76}{10201}}$$

Упростите.

$$y-\frac{50}{101}=\frac{2\sqrt{19}}{101} y-\frac{50}{101}=-\frac{2\sqrt{19}}{101}$$

Прибавьте \frac{50}{101} к обеим частям уравнения.

$$y=\frac{2\sqrt{19}+50}{101} y=\frac{50-2\sqrt{19}}{101}$$